Самостоятельная работа n 1 icon

Самостоятельная работа n 1

Реклама:



НазваниеСамостоятельная работа n 1
страница2/4
Дата конвертации07.07.2013
Размер1.01 Mb.
ТипСамостоятельная работа
источник
1   2   3   4

14. Изображение пространственных фигур

Вариант 1

1. Изобразите правильную четырехугольную пирамиду и ее высоту.

2. Изобразите куб, две грани которого параллельны плоскости проектирования.

3. На рисунке 6 изображена параллельная проекция куба A…D1. Как расположен куб относительно плоскости проектирования?

4. Дан тетраэдр ABCD. Площадь его грани ADC равна S. Найдите площадь проекции его грани BDC на плоскость ADC в направлении прямой AB.



Вариант 2

1. Изобразите правильную треугольную пирамиду и ее высоту.

2. Изобразите куб, грани которого не параллельны плоскости проектирования.

3. На рисунке 7 изображена параллельная проекция куба A…D1. Как расположен куб относительно плоскости проектирования?

4. Дан тетраэдр ABCD. Площадь его грани ABD равна Q. Найдите площадь проекции его грани BDC на плоскость ADB в направлении прямой CM, где M – середина ребра AB.


^ 15. Сечения многогранников

Вариант 1

1. В шестиугольной призме A…F1 (рис. 8) постройте точку пересечения прямой PQ с плоскостью ABC, где точки Q и P принадлежат соответственно боковым ребрам призмы BB­1 и DD1.

2. На боковых ребрах четырехугольной призмы ^ A…D1 заданы три точки K, L, M (рис. 9). Постройте линию пересечения плоскости KLM с плоскостью ABC.

3. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки X, Y, Z, принадлежащие соответственно ребрам AD, AA1, BB1 и такие, что AX:XD = 1:2, A1Y:YA = 2:1, B1Z:ZB = 1:2.

4. В правильной пирамиде SABCD постройте сечение, проходящее через сторону основания AD и точку M, принадлежащую боковому ребру SB.



Вариант 2

1. На боковых ребрах BB1 и EE1 призмы ABCDEA1B1C1D1E1 заданы соответственно точки F и G (рис. 10). Постройте точку пересечения прямой FG с плоскостью ABC.

2. Дан куб A…D1. На его ребрах AA1, CC1 и DD1 заданы соответственно три точки X, Y, Z (рис. 11). Постройте линию пересечения плоскостей XYZ и ABC.

3. В правильной треугольной призме A…C1 постройте сечение, проходящее через точки K, L и ^ M, принадлежащие соответственно ребрам AA1, AC и BB1 и такие, что: AK = KA1; AL:LC = 1:2 и BM = MB1.

4. В правильной пирамиде SABCD постройте сечение, проходящее через диагональ AC основания и параллельное боковому ребру SD.



^ 16. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых

Вариант 1

1. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: а) AB и BB1; б) BD и ВВ1; в) AB1 и CC1; г) AB1 и CD1.

2. В правильной треугольной призме A…C1 отрезок CD перпендикулярен ребру AB. Найдите угол между прямыми: а) CD и AA1; б) CD и A1B1.

3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с равными ребрами найдите угол между диагональю AC основания и боковым ребром SC.

4. Найдите угол между скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра.


Вариант 2

1. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: а) BC и BB1; б) A1C1 и AD; в) BB1 и BD; г) A1D и BC1.

2. В правильной треугольной призме A…C1 AM – медиана основания ABC. Найдите угол между прямыми: а) AM и C1B1; б) AM и A1C1.

3. В правильном тетраэдре ABCD точка M – середина ребра CB. Найдите угол между прямыми AM и DC.

4. Найдите угол между непересекающимися ребрами правильной треугольной пирамиды.


^ 17. Перпендикулярность прямой и плоскости

Вариант 1

1. Докажите, что прямая, перпендикулярная плоскости, пересекает эту плоскость.

2. Через центр O квадрата ABCD проведена прямая OK, перпендикулярная плоскости этого квадрата. Докажите, что прямая AK перпендикулярна прямой BD.

3. Найдите геометрическое место точек, принадлежащих прямым, проходящим через данную точку и перпендикулярным данной прямой.

4. Точка ^ M принадлежит боковой грани ABD треугольной пирамиды ABCD, у которой AB = BD и AC = CD. Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через точку M и перпендикулярной прямой AD.


Вариант 2

1. Прямая a, перпендикулярная плоскости a, пересекает эту плоскость в точке A. Докажите, что прямая b, проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a, лежит в плоскости a.

2. Через точку M – середину стороны AB равностороннего треугольника ABC проведена прямая MH, перпендикулярная плоскости этого треугольника. Докажите перпендикулярность прямых AB и HC.

3. Даны прямая a и не принадлежащая ей точка A. Найдите геометрическое место прямых, проходящих через точку A и перпендикулярных прямой a.

4. В прямоугольном параллелепипеде A…D1 постройте сечение, проходящее через точку K, внутреннюю точку диагонального сечения AA1C1C, и перпендикулярное прямой BB1.


^ 18. Перпендикуляр и наклонная


Вариант 1

1. Дана плоскость a. Из точки A проведены к ней две наклонные AB = 20 см и AC = 15 см. Проекция первой наклонной на эту плоскость равна 16 см. Найдите проекцию второй наклонной.

2. Из точки M, не принадлежащей плоскости g, проведены к ней равные наклонные MA, MB и MC. Докажите, что основания наклонных принадлежат одной окружности. Найдите ее центр.

3. Из точки B проведены к плоскости b две равные по 2 см наклонные. Угол между ними равен 600, а между их проекциями – 900. Найдите перпендикуляр, опущенный из точки B на плоскость b.

4. Дан треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Точка M, не принадлежащая плоскости этого треугольника, удалена от сторон треугольника на 5 см. Найдите перпендикуляр, опущенный из точки M на плоскость данного треугольника.


Вариант 2

1. Из точки ^ A проведены к плоскости a наклонная AB = 9 см и перпендикуляр AO = 6 см. Найдите проекцию этого перпендикуляра на данную наклонную.

2. Найдите геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от всех точек данной окружности.

3. Из данной точки проведены к данной плоскости две равные наклонные, образующие между собой угол 600. Угол между их проекциями – прямой. Найдите угол между каждой наклонной и ее проекцией.

4. Точка M удалена от каждой вершины правильного треугольника на см, а от каждой его стороны – на 2 см. Найдите перпендикуляр, опущенный из точки M на плоскость треугольника.


^ 19. Угол между прямой и плоскостью

Вариант 1

1. В пирамиде боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания. В какую точку проектируется вершина пирамиды?

2. В кубе A…D1 найдите косинус угла между ребром AA1 и плоскостью AB1D1.

3. К плоскости a проведена наклонная MH (H принадлежит плоскости a). Докажите, что если проекция наклонной ^ MH образует равные углы с прямыми AH и BH, лежащими в плоскости a, то и сама наклонная MH образует с ними равные углы.

4. Проведите к данной плоскости через данную на ней точку прямую, образующую с плоскостью угол 900.


Вариант 2

1. Докажите, что в правильной пирамиде боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания.

2. В кубе A…D1 найдите косинус угла между ребром A1D1 и плоскостью AB1D1.

3. К плоскости b проведена наклонная BP (P принадлежит плоскости b), которая образует равные углы с прямыми PE и PF, лежащими в плоскости b. Докажите, что углы, образованные прямыми PE и PF с проекцией наклонной BP на плоскость b, равны.

4. Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проведите прямую, образующую с плоскостью угол 900.


^ 20. Расстояние между точками, прямыми и плоскостями

Вариант 1

1. В прямоугольном треугольнике ABC (C = 900) катет AC равен 8 см. Из вершины B к плоскости данного треугольника проведен перпендикуляр BD. Расстояние между точками A и D равно 10 см. Найдите расстояние от точки D до катета AC.

2. В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между вершиной A и: а) вершиной C1; б) ребром CC1; в) гранью BB1C1C.

3. Точка M удалена от всех вершин прямоугольного треугольника на расстояние a. Гипотенуза треугольника равна c. Найдите расстояние от точки M до плоскости данного треугольника.

4. В кубе A…D1 с ребром a найдите расстояние между скрещивающимися ребрами AB и B1C1.


Вариант 2

1. Катеты прямоугольного треугольника ABC (C = 900) равны 15 см и 20 см. Из вершины C к плоскости треугольника проведен перпендикуляр CD, равный 5 см. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы AB.

2. В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между вершиной D1 и: а) вершиной B; б) ребром AB; в) гранью BB1C1C.

3. Из точки K на плоскость b опущен перпендикуляр длиной d и проведены две наклонные, углы которых с перпендикуляром составляют 300. Угол между наклонными равен 600. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

4. В кубе A…D1 с ребром a найдите расстояние между скрещивающимися ребрами DC и BB1.


^ 21. Двугранный угол

Вариант 1

1. Наклонная, проведенная к плоскости, равна a. Найдите ортогональную проекцию этой наклонной на плоскость, если угол между наклонной и плоскостью равен 300.

2. На одной грани двугранного угла взяты две точки A и B. Из них опущены перпендикуляры AA1, BB1 на другую грань и AA2, BB2 на ребро двугранного угла. Найдите BB2, если AA1 = 6 см, BB1 = 3 см, AA2 = 24 см.

3. Два равных прямоугольника имеют общую сторону и их плоскости образуют угол 450. Найдите отношение площадей двух фигур, на которые ортогональная проекция стороны одного прямоугольника разбивает другой.

4. Докажите, что перпендикуляры, проведенные из точек данной прямой на плоскость, лежат в одной плоскости и геометрическим местом оснований этих перпендикуляров является линия пересечения этих плоскостей.


Вариант 2

1. Наклонная, проведенная к плоскости, равна a. Найдите ортогональную проекцию этой наклонной на плоскость, если угол между наклонной и плоскостью равен 600.

2. На одной грани двугранного угла взяты две точки, отстоящие от его ребра на 9 см и 12 см. Расстояние от первой точки до другой грани двугранного угла равно 20 см. Найдите расстояние от этой грани до второй точки.

3. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 600. Общее основание равно 16 см, боковая сторона одного треугольника равна 17 см, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников, лежащими против общего основания.

4. Докажите, что точка пересечения ортогональных проекций двух прямых на плоскость является ортогональной проекцией точки пересечения данных прямых на ту же плоскость.


^ 22. Перпендикулярность плоскостей

Вариант 1

1. Дан куб A…D1. Докажите перпендикулярность плоскостей: а) ABD и DCC1; б) AB1C1 и ABB1.

2. Через данную прямую, лежащую в данной плоскости, проведите плоскость, перпендикулярную этой плоскости.

3. Две перпендикулярные плоскости a и b пересекаются по прямой AB. Прямая CD лежит в плоскости a, параллельна AB и находится на расстоянии 60 см от нее. Точка E принадлежит плоскости b и находится на расстоянии 91 см от AB. Найдите расстояние от точки E до прямой CD.

4. Докажите, что прямая a и плоскость a, перпендикулярные одной и той же плоскости b, параллельны, если прямая a не лежит в плоскости a.


Вариант 2

1. Дан куб A…D1. Докажите перпендикулярность плоскостей: а) AA1D1 и D1B1C1; б) A1B1D и BB1C1.

2. Через наклонную к плоскости проведите плоскость, перпендикулярную этой плоскости.

3. Отрезок MN имеет концы на двух перпендикулярных плоскостях и составляет с ними равные углы. Докажите, что точки M и N одинаково удалены от линии пересечения данных плоскостей.

4. Докажите, что две плоскости a и b параллельны, если они перпендикулярны плоскости g и пересекают ее по параллельным прямым.


23*. Центральное проектирование

Самостоятельная работа N 1

Вариант 1

1. Куда при центральном проектировании переходит прямая, параллельная плоскости проектирования?

2. Плоская фигура лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования, и находится между центром и плоскостью проектирования. Как при этом определяется коэффициент подобия фигуры и ее проекции?

3. Радиус основания конуса равен ^ R. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите площадь сечения.

4. В треугольной пирамиде ABCD (рис. 12) через точки M и N, принадлежащие соответственно граням ABD и BCD, проведите сечение, параллельное ребру AC.



Вариант 2

1. В каком случае центральной проекцией двух прямых будут две параллельные прямые?

2. Плоская фигура лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования. Плоскость проектирования расположена между центром проектирования и плоскостью данной фигуры. Как при этом определяется коэффициент подобия фигуры и ее проекции?

3. Радиус основания конуса равен ^ R. Он пересечен плоскостью, параллельной основанию и делящей высоту конуса в отношении m:n, считая от вершины. Найдите площадь сечения.

4. В треугольной пирамиде ABCD (рис. 13) через точку M, принадлежащую высоте пирамиды DO, проведите сечение, параллельное грани BCD.


Самостоятельная работа N 2

Вариант 1

1. Прямая m пересекает плоскость проектирования p и не проходит через центр проектирования ^ S. Изобразите центральную проекцию части данной прямой, расположенной в одном полупространстве с точкой S относительно плоскости p.

2. Изобразите центральную проекцию куба A…D1 на плоскость, параллельную плоскости AA1C1.

3. Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы на плоскость, параллельную ее основаниям.

4. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, у которой двугранный угол при основании равен 600. Найдите расстояние между прямыми AB и SC, если AB = 1.


Вариант 2

1. Прямая m пересекает плоскость проектирования p и не проходит через центр проектирования S. Изобразите центральную проекцию части данной прямой, расположенной в разных полупространствах с точкой S относительно плоскости p.

2. Изобразите центральную проекцию куба A…D1 на плоскость, параллельную плоскости AB1C1.

3. Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы на плоскость, не параллельную ее основаниям.

4. Дана правильная треугольная призма A…C1, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми AA1 и BC1.


^ 24. Многогранные углы

Вариант 1

1. Запишите, при каких условиях углы a, b и g могут быть плоскими углами трехгранного угла.

2. В трехгранном угле все плоские углы прямые. На его ребрах от вершины отложены отрезки 2 см, 4 см, 6 см и через их концы проведена плоскость. Найдите площадь получившегося сечения.

3. По скольким прямым попарно пересекаются плоскости всех граней четырехгранного угла?


Вариант 2

1. Два плоских угла трехгранного угла равны a и b, причем a > b. Запишите, в каких границах возможны значения третьего плоского угла g данного трехгранного угла.

2. В трехгранном угле все двугранные углы – прямые. Из вершины этого угла в его внутренней области проведен отрезок, проекции которого на ребра равны a, b и c. Найдите данный отрезок.

3. По скольким прямым попарно пересекаются плоскости всех граней пятигранного угла?


25*. Выпуклые многогранники

Вариант 1

1. Определите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) n-угольной призмы: а) выпуклой; б) невыпуклой.

2. Нарисуйте выпуклый многогранник с 5 вершинами.

3. В выпуклом многограннике известно число граней Г, причем каждая грань имеет одно и то же число сторон n. Найдите число: а) плоских углов (); б) ребер (Р) данного многогранника. Как связаны между собой числа и Р?

4. Выпуклый многогранник имеет В вершин, Р ребер и Г граней. От него отсекли m-гранный угол. Найдите число вершин, ребер и граней полученного многогранника.


Вариант 2

1. Определите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) n-угольной пирамиды: а) выпуклой; б) невыпуклой.

2. Нарисуйте выпуклый многогранник с 6 вершинами.

3. В выпуклом многограннике известно число вершин В, причем в каждой вершине сходится одно и то же число ребер m. Найдите число: а) плоских углов (); б) ребер данного многогранника (Р). Как связаны между собой числа и Р?

4. Выпуклый многогранник имеет В вершин, Р ребер и Г граней. К его n-угольной грани пристроили пирамиду. Найдите число вершин, ребер и граней нового многогранника.


26*. Теорема Эйлера

Вариант 1

1. Нарисуйте невыпуклый многогранник, для которого выполняется теорема Эйлера.

2. Докажите, что для всякого выпуклого многогранника справедливо соотношение <3, где Р – число ребер, Г – число граней многогранника.

3. Докажите, что в любом выпуклом многограннике с В вершинами, Р ребрами и Г гранями выполняется неравенство: 3В – 6 Р.

4. Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды с высотой h и боковым ребром b.


Вариант 2

1. Нарисуйте невыпуклый многогранник, для которого не выполняется теорема Эйлера.

2. Докажите, что для всякого выпуклого многогранника справедливо соотношение <3, где Р – число ребер, В – число вершин многогранника.

3. Докажите, что в любом выпуклом многограннике с В вершинами, Р ребрами и Г гранями выполняется неравенство: 3Г – 6 Р.

4. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды со стороной основания a и высотой боковой грани h.


^ 27. Правильные многогранники

Вариант 1

1. Нарисуйте: а) развертку тетраэдра; б) многогранник, двойственный гексаэдру.

2. Постройте сечение октаэдра плоскостью, проходящей через одну из его вершин и середины двух параллельных ребер, которым не принадлежит данная вершина. Определите вид сечения.

3. В тетраэдр ^ ABCD вписана правильная треугольная призма с равными ребрами таким образом, что вершины одного ее основания находятся на боковых ребрах AD, BD, CD, а другого – в плоскости ABC. Ребро тетраэдра равно a. Найдите ребро призмы.

4. В тетраэдре ABCD проведите сечение плоскостью, проходящей через точку M – середину высоты DO тетраэдра, параллельно плоскости грани ADC. Определите вид сечения.


Вариант 2

1. Нарисуйте: а) развертку куба; б) многогранник, двойственный тетраэдру.

2. Постройте сечение октаэдра плоскостью, проходящей через два его параллельных ребра. Определите вид сечения.

3. В октаэдр вписан куб таким образом, что его вершины находятся на ребрах октаэдра. Ребро октаэдра равно a. Найдите ребро куба.

4. В тетраэдре ^ ABCD проведите сечение плоскостью, проходящей через точку M, принадлежащую грани ABC параллельно плоскости грани BCD. Определите вид сечения.


28*. Полуправильные многогранники

Вариант 1

1. Найдите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) усеченного гексаэдра.

2. Как можно получить 5-угольную антипризму?

3. Нарисуйте многогранник, двойственный правильной 6-угольной призме.

4. Правильный треугольник ABC и другой треугольник ADC имеют общую сторону AC и расположены в разных плоскостях, угол между которыми равен 300. Вершина D ортогонально проектируется на плоскость треугольника ABC в его центр. Высота правильного треугольника равна h. Найдите сторону AD треугольника ADC.


Вариант 2

1. Найдите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) усеченного октаэдра.

2. Как можно получить 8-угольную антипризму?

3. Нарисуйте многогранник, двойственный 6-угольной антипризме.

4. Квадрат ABCD и треугольник ABE имеют общую сторону AB и расположены в разных плоскостях, угол между которыми равен 450. Вершина E треугольника ортогонально проектируется на плоскость квадрата в его центр O. Высота EH треугольника равна h. Найдите площадь ортогональной проекции треугольника на плоскость квадрата и ортогональную проекцию отрезка OE на плоскость треугольника.


29*. Звездчатые многогранники

Вариант 1

1. Как получить звезду Кеплера из октаэдра?

2. Найдите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) малого звездчатого додекаэдра.

3. Каким образом из куба получается усеченный куб? Чему равно его ребро, если ребро куба равно a?

4. Докажите, что если плоскость пересекает треугольную пирамиду и параллельна двум ее скрещивающимся ребрам, то в сечении будет параллелограмм.


Вариант 2

1. Как получить звезду Кеплера из гексаэдра?

2. Найдите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) большого додекаэдра.

3. Каким образом из куба получается кубооктаэдр? Чему равно его ребро, если ребро куба равно a?

4. Докажите, что правильный тетраэдр можно пересечь плоскостью таким образом, чтобы в сечении получился квадрат.


30*. Кристаллы – природные многогранники

Вариант 1

1. Нарисуйте кристалл горного хрусталя.

2. Нарисуйте ромбододекаэдр. Чему равно число его вершин, ребер и граней.

3. Найдите сумму всех плоских углов кристалла исландского шпата.

4. Найдите сумму площадей всех граней кристалла алмаза (в виде кубооктаэдра), если его ребро равно a.


Вариант 2

1. Нарисуйте кристалл исландского шпата.

2. Нарисуйте ромбододекаэдр. Определите число его плоских углов, двугранных углов; многогранных углов и их тип.

3. Найдите сумму всех плоских углов кристалла граната.

4. Найдите сумму площадей всех граней кристалла алмаза (в виде усеченного октаэдра), если его ребро равно a.


^ 31. Сфера и шар. Взаимное расположение сферы и плоскости

Вариант 1

1. Шар, радиус которого равен 10 см, пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 см от центра. Найдите площадь сечения.

2. Сечения шара радиуса R двумя параллельными плоскостями имеют радиусы r1 и r2. Найдите расстояние между этими плоскостями, если они расположены по разные стороны от центра.

3. Стороны треугольника касаются сферы. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен 5 см, а стороны треугольника равны 12 см, 10 см, 10 см.

4. Каждая сторона ромба касается сферы радиуса 10 см. Плоскость ромба удалена от центра сферы на 8 см. Найдите площадь ромба, если его сторона равна 12,5 см.


Вариант 2

1. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярно к нему плоскость. Как относится площадь большого круга данного шара к площади получившегося сечения?

2. Сечения шара радиуса R двумя параллельными плоскостями имеют радиусы r1 и r2. Найдите расстояние между этими плоскостями, если они расположены по одну сторону от центра.

3. Стороны ромба касаются сферы радиуса 13 см. Найдите расстояние от плоскости ромба до центра сферы, если диагонали ромба равны 30 см и 40 см.

4. Через конец радиуса шара проведена плоскость, составляющая с ним 300. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью, если радиус шара равен 6 см.


^ 32. Многогранники, вписанные в сферу

Вариант 1

1. Перечислите свойства, которым должна удовлетворять призма, чтобы около нее можно было описать сферу.

2. На рисунке 14 изображена треугольная пирамида ABCD, у которой ребро DB перпендикулярно плоскости ABC и угол ACB равен 900. Найдите центр сферы, описанной около данной пирамиды.

3. В правильной четырехугольной пирамиде ^ SABCD сторона основания ABCD равна 4 см, двугранный угол при основании 450. Найдите радиус описанной сферы. Где будет находиться ее центр?

4. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной призмы, равен R. Найдите высоту этой призмы, зная, что ее диагональ образует с боковой гранью угол a.



Вариант 2

1. Перечислите свойства, которым должна удовлетворять пирамида, чтобы около нее можно было описать сферу.

2. На рисунке 15 изображена пирамида ABCD, у которой углы ADB, ADC и BDC прямые. Найдите центр сферы, описанной около данной пирамиды.

3. В правильной треугольной пирамиде SABC центр описанной сферы делит высоту на части, равные 6 см и 3 см. Найдите сторону основания ABC пирамиды.

4. В правильной 4-угольной призме диагональ основания и диагональ боковой грани равны соответственно 16 см и 14 см. Найдите радиус описанной сферы.


^ 33. Многогранники, описанные около сферы

Вариант 1

1. Можно ли вписать сферу в пирамиду, у которой равны двугранные углы при основании? Ответ поясните.

2. Около сферы описана прямая призма, основанием которой является ромб с диагоналями 6 см и 8 см. Найдите площадь основания и высоту призмы.

3. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна a, двугранный угол при основании равен 600. Найдите радиус вписанного шара.

4. Стороны оснований правильной 4-угольной усеченной пирамиды равны 1 см и 7 см. Боковое ребро наклонено к основанию под углом 450. Найдите радиус описанного шара.


Вариант 2

1. Каким свойством должна обладать прямая треугольная призма, чтобы в нее можно было вписать сферу?

2. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник, каждый из равных углов которого равен a и основание которого равно a. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом b. Найдите радиус сферы, вписанной в эту пирамиду.

3. Найдите радиус шара, вписанного в правильную пирамиду, у которой высота равна h, а двугранный угол при основании равен 450.

4. В правильной треугольной усеченной пирамиде высота равна 17 см, радиусы окружностей, описанных около оснований, равны 5 см и 12 см. Найдите радиус описанного шара.


^ 34. Цилиндр. Конус

Вариант 1

1. В цилиндре, радиус основания которого равен 4 см и высота 6 см, проведено сечение, параллельное оси. Расстояние между диагональю сечения и осью цилиндра равно 2 см. Найдите площадь сечения.

2. Через вершину конуса проведено сечение под углом 600 к его основанию. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения, если высота конуса равна 12 см.

3. Точка M принадлежит высоте конуса. Точка N принадлежит плоскости основания конуса, но находится вне этого основания. Постройте точку пересечения прямой MN с поверхностью конуса.

4. Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны, высота равна 2 см. Найдите площадь сечения усеченного конуса, проведенного через середину высоты параллельно основаниям.


Вариант 2

1. Высота цилиндра равна 15 см, радиус основания 10 см. Дан отрезок, концы которого принадлежат окружностям обоих оснований и длина которого равна 3см. Найдите расстояние между данным отрезком и осью цилиндра.

2. Через вершину конуса проведено сечение под углом 300 к его высоте. Найдите площадь сечения, если высота конуса равна 3 см, а радиус основания 5 см.

3. В конусе задано осевое сечение. Точки K и L принадлежат двум образующим конуса, не лежащим в данном сечении. Постройте точку пересечения прямой KL с плоскостью данного осевого сечения.

4. Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 1:3, образующая составляет с плоскостью основания угол 450, высота равна h. Найдите площади оснований.


^ 35. Поворот. Фигуры вращения

Вариант 1

1. Нарисуйте фигуру, которая получается при вращении квадрата ABCD вокруг прямой a, проходящей через вершину B и перпендикулярной диагонали BD.

2. Нарисуйте фигуру, которая получается вращением круга вокруг касательной.

3. Кривая задана уравнением y = sin x, 0xp. Нарисуйте фигуру, которая получится при вращении этой кривой вокруг оси Oy.

4. Плоскость проходит через ось цилиндра, причем площадь осевого сечения цилиндра относится к площади его основания как 4: p. Найдите угол между диагоналями осевого сечения.


Вариант 2

1. Нарисуйте фигуру, которая получается при вращении ромба ABCD вокруг прямой a, проходящей через вершину C и перпендикулярной диагонали AC.

2. Нарисуйте фигуру, которая получается вращением круга вокруг хорды, не являющейся диаметром.

3. Кривая задана уравнением y = , 0x4. Нарисуйте фигуру, которая получится при вращении этой кривой вокруг оси Ox.

4. Высота конуса равна 20 см, угол между нею и образующей 600. Найдите площадь сечения, проведенного через две взаимно перпендикулярные образующие конуса.


^ 36. Вписанные и описанные цилиндры

Вариант 1

1. В сферу радиуса 10 см вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого наклонена к плоскости основания под углом 300. Найдите высоту цилиндра и радиус его основания.

2. Найдите радиус основания цилиндра, описанного около сферы радиуса ^ R.

3. В равносторонний цилиндр (высота равна диаметру основания), радиус основания которого равен r, вписана правильная треугольная призма. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через ось цилиндра и боковое ребро призмы.

4. Около равностороннего цилиндра, радиус основания которого равен r, описана правильная четырехугольная призма. Найдите площади ее граней.


Вариант 2

1. В сферу вписан цилиндр, образующая которого равна 8 см и диагональ осевого сечения наклонена к плоскости основания под углом 600. Найдите радиусы сферы и основания цилиндра.

2. Найдите образующую цилиндра, описанного около сферы радиуса ^ R.

3. В равносторонний цилиндр (высота равна диаметру основания), радиус основания которого равен r, вписана правильная четырехугольная призма. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через ось цилиндра и боковое ребро призмы.

4. Около равностороннего цилиндра, радиус основания которого равен r, описана правильная треугольная призма. Найдите площади ее граней.


37*. Сечения цилиндра плоскостью. Эллипс

Вариант 1

1. Изобразите цилиндр и эллипс, являющийся пересечением боковой поверхности цилиндра плоскостью, образующей с основанием цилиндра угол 450.

2. Боковая поверхность цилиндра пересечена плоскостью, образующей с осью цилиндра угол 300. Найдите большую ось эллипса, получившегося в сечении, если радиус основания цилиндра равен R.

3. Плоскость пересекает боковую поверхность цилиндра и образует с плоскостью основания угол 300. Найдите расстояние между фокусами эллипса, получившегося в сечении, если радиус основания цилиндра равен 3 см.

4. Цилиндр, радиус основания которого равен R, пересечен плоскостью, образующей с основанием цилиндра угол 450. Найдите сумму расстояний от точек эллипса, получившегося в сечении, до фокусов.


Вариант 2

1. Изобразите цилиндр и эллипс, являющийся пересечением боковой поверхности цилиндра плоскостью, образующей с основанием цилиндра угол 600.

2. Под каким углом к плоскости основания цилиндра нужно провести плоскость, чтобы в сечении боковой поверхности получить эллипс, у которого большая ось в два раза больше малой?

3. Плоскость пересекает боковую поверхность цилиндра и образует с плоскостью основания угол 450. Найдите расстояние между фокусами эллипса, получившегося в сечении, если радиус основания цилиндра равен 2 см.

4. Цилиндр, радиус основания которого равен R, пересечен плоскостью, образующей с основанием цилиндра угол 300. Найдите сумму расстояний от точек эллипса, получившего в сечении, до фокусов.


^ 38. Вписанные и описанные конусы

Вариант 1

1. В сферу радиуса 4 см вписан конус. Найдите высоту этого конуса и радиус его основания, если угол при вершине осевого сечения равен 600.

2. Радиус основания конуса равен r, образующая наклонена к плоскости основания под углом 600. Найдите радиус вписанной в конус сферы.

3. Можно ли вписать в конус 4-угольную пирамиду, у которой углы основания последовательно относятся как: а) 1:5:9:7; б) 4:2:5:7?

4. Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 8 см и 18 см; двугранные углы при основании пирамиды равны. В пирамиду вписан конус. Найдите радиус основания конуса и его высоту, если меньшее боковое ребро пирамиды составляет с меньшей стороной трапеции угол 600.


Вариант 2

1. В конусе образующая равна 15 см и составляет с основанием угол 600. Найдите радиус описанной сферы.

2. В конус вписана сфера, радиус которой равен R. Найдите радиус основания конуса, если угол при вершине осевого сечения равен 600.

3. Можно ли описать около конуса 4-угольную пирамиду, у которой стороны основания последовательно относятся как: а) 5:6:8:7; б) 3:10:15:7?

4. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник; боковые ребра равны между собой, а боковые грани, проходящие через катеты, составляют с основанием углы 300 и 600. Около пирамиды описан конус таким образом, что у них общая высота. Найдите радиус основания конуса, если высота пирамиды равна h.


^ 39*. Конические сечения

Вариант 1

1. Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом 600. Радиус основания конуса равен R. Через центр основания проведена плоскость под углом 600 к плоскости основания. Найдите радиус сферы, вписанной в коническую поверхность и касающуюся этой плоскости.

2. Изобразите конус и плоскость, пересекающую коническую поверхность по эллипсу.

3. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 900. Под каким углом к плоскости основания конуса нужно провести плоскость, чтобы в сечении конической поверхности получить: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу?

4. Угол между осью конуса и его образующей равен 450. Через точку образующей, отстоящую от вершины конуса на расстояние a, проведена плоскость, перпендикулярная этой образующей. Найдите расстояние между фокусом и директрисой параболы, получающейся в сечении конической поверхности этой плоскостью.


Вариант 2

1. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 900. Через точку образующей, отстоящей от вершины конуса на расстояние a, проведена плоскость, перпендикулярная этой образующей. Найдите радиус сферы, вписанной в коническую поверхность, касающуюся этой плоскости.

2. Изобразите конус и плоскость, пересекающую коническую поверхность по параболе.

3. Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом 600. Под каким углом к плоскости основания нужно провести плоскость, чтобы в сечении конической поверхности получить: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу?

4. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 300. Через точку образующей, отстоящей от вершины на расстояние b, проведена плоскость, перпендикулярная этой образующей. Найдите большую ось эллипса, получившегося в сечении конической поверхности этой плоскостью.


^ 40. Симметрия пространственных фигур

Вариант 1

1. Для двух точек пространства найдите точку, относительно которой они центрально симметричны.

2. Постройте прямую, зеркально-симметричную данной прямой относительно данной плоскости a. Рассмотрите различные случаи.

3. Докажите, что при осевой симметрии плоскость, перпендикулярная оси, переходит в себя.

4. Найдите элементы симметрии правильной треугольной призмы.


Вариант 2

1. Для двух точек пространства найдите прямую, относительно которой они симметричны.

2. Постройте плоскость, центрально-симметричную данной плоскости относительно точки O. Рассмотрите различные случаи.

3. Докажите, что при осевой симметрии прямые, перпендикулярные оси, переходят в прямые, также перпендикулярные оси.

4. Найдите элементы симметрии правильной 6-ной пирамиды.


41. Движения

Вариант 1

1. Докажите, что композиция двух движений (последовательное их выполнение) является движением.

2. Найдите движения, которые переводят вершину A куба A…D1 в вершину C1.

3. Найдите движения, которые переводят вершину A правильного тетраэдра ABCD в вершину C.

4. Каким движением является композиция (последовательное выполнение) двух осевых симметрий с параллельными осями?


Вариант 2

1. Докажите, что преобразование, обратное движению, тоже является движением.

2. Найдите движения, которые переводят вершину B1 куба A…D1 в вершину D.

3. Найдите движения, которые переводят вершину D правильного тетраэдра ABCD в вершину B.

4. Каким движением является композиция (последовательное выполнение) двух центральных симметрий?


42*. Ориентация поверхности. Лист Мебиуса

Вариант 1

1. Сколько сторон имеет поверхность: а) пирамиды; б) призмы; в) дважды перекрученной ленты Мебиуса?

2. Изобразите лист Мебиуса.

3. Лист Мебиуса получен из прямоугольника со сторонами a, b (a<b) склеиванием сторон длины a. Какова площадь поверхности листа Мебиуса?

4. Можно ли одностороннюю поверхность склеить из шестиугольника?


Вариант 2

1. Сколько сторон имеет поверхность: а) конуса; б) цилиндра; в) листа Мебиуса?

2. Изобразите дважды перекрученную ленту Мебиуса.

3. Лист Мебиуса получен из прямоугольника со сторонами a, b (a<b) склеиванием сторон длины a. Какова длина края листа Мебиуса?

4. Можно ли одностороннюю поверхность склеить из восьмиугольника?


^ 43. Объем фигур в пространстве. Объем цилиндра

Вариант 1

1. Осевое сечение прямого кругового цилиндра - квадрат со сторо­ной 3 см. Найдите объем цилиндра.

2. От куба A…D1, ребро которого равно 1, отсечены 4 треугольные призмы плоскостями, которые проходят через середины смежных сторон грани ABCD, параллельно ребру AA1. Найдите объем оставшейся части куба.

3. Прямая треугольная призма пересечена плоскостью, которая проходит через боковое ребро и делит площадь противолежащей ему боковой грани в отношении m:n. В каком отношении делится объем призмы?

4. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, диагонали которого относятся как 5:2. Зная, что диагонали параллелепипеда равны 17 дм и 10 дм, найдите объем параллелепипеда.


Вариант 2

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 2 см и наклонена к плос­кости основания под углом 600. Найдите объем цилиндра.

2. Объем правильной шестиугольной призмы равен V. Определите объем призмы, вершинами которой являются середины сторон оснований данной призмы.

3. В каком отношении делится объем прямой треугольной призмы плоскостью, проходящей через средние линии оснований.

4. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, диагонали которого равны 1 дм и 7 дм. Зная, что диагонали параллелепипеда относятся как 13:17, найдите объем параллелепипеда.


^ 44. Принцип Кавальери

Вариант 1

1. Верно ли, что два конуса, имеющие равные основания и высоты, равнове­лики?

1. Найдите объем наклонной призмы, площадь основания ко­торой равна S, а боковое ребро b наклонено к плоскости основания под углом 600.

3. В наклонном параллелепипеде две боковые грани имеют площади S1 и S2, их общее ребро равно a, и они образуют между собой двугранный угол 1500. Найдите объем параллелепипеда.

4. В наклонной треугольной призме площадь одной из боковых граней равна Q, а расстояние от нее до противоположного ребра равно d. Найдите объем призмы.


Вариант 2

1. Верно ли, что две пирамиды, имеющие равновеликие основания и равные высоты, равнове­лики?

2. Найдите объем наклонного цилиндра, радиус основания ко­торого равен R, а боковое ребро b наклонено к плоскости основания под углом 450.

3. В наклонном параллелепипеде основание и боковая грань являются прямоугольниками и их площади равны соответственно 20 см2 и 24 см2. Угол между их плоскостями равен 300. Еще одна грань параллелепипеда имеет площадь 15 см2. Найдите объем параллелепипеда.

4. В наклонной треугольной призме две боковые грани перпендикулярны и имеют общее ребро, равное a. Площади этих граней равны S1 и S2. Найдите объем призмы.


^ 45. Объем пирамиды

Вариант 1

1. Пирамида, объем которой равен V, а в основании лежит прямоугольник, пересечена четырьмя плоскостями, каждая из которых проходит через вершину пирамиды и середины смежных сторон основания. Найдите объем оставшейся части пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной, равной 1. Две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья образует с основанием угол 600. Найдите объем пирамиды.

3. В основании прирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3 см, а прилежащий к нему острый угол равен 300. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 600. Найдите объем пирамиды.

4. Центры граней куба, ребро которого равно 2a, служат верши­нами октаэдра. Найдите его объем.


Вариант 2

1. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональным сечением является правильный треугольник со стороной, равной 1.

2. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите объем пирамиды.

3. Боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, наклонены к плоскости основания под углом 300. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите объем пирамиды.

4. В куб с ребром, равным a, вписан правильный тетраэдр таким образом, что его вершины совпадают с четырьмя вершинами куба. Найдите объем тетраэдра.


46. Объем конуса
1   2   3   4



Реклама:

Похожие:

Самостоятельная работа n 1 iconПрогнозирование денежной массы Ямайки с помощью эконометрических моделей Контролируемая самостоятельная работа №1 по дисциплине «Стратегическое планирование»
Контролируемая самостоятельная работа №1 по дисциплине «Стратегическое планирование»

Самостоятельная работа n 1 iconСамостоятельная работа для 5 класса (действия с дробями) Итоговая самостоятельная работа (все действия с дробями)
Выучить рассказ о путешествии стр. 21, диалог стр. 24, все неправильные глаголы стр. 3-29

Самостоятельная работа n 1 iconСамостоятельная деятельность учащихся основа развивающего
Самостоятельная работа предполагает активные умственные действия школьников, связанные с поисками наиболее рациональных способов...

Самостоятельная работа n 1 iconДокументи
1. /Самостоятельная работа/BARCER.DOC
2. /Самостоятельная...

Самостоятельная работа n 1 icon«Самостоятельная работа»

Самостоятельная работа n 1 iconСамостоятельная работа (20 мин)

Самостоятельная работа n 1 iconАвтор-составитель
Виды самостоятельной деятельности: самостоятельная работа с научно-популярной литературой; исследовательская работа в виде выполнения...

Самостоятельная работа n 1 iconУрок 20. Модуль «Основы светской этики» Тема урока: Любовь основа жизни
Виды деятельности: беседа, устный рассказ на тему, работа с иллюстративным материалом, самостоятельная работа с источником информации,...

Самостоятельная работа n 1 iconДокументи
1. /Самостоятельная работа учащихся.doc

Самостоятельная работа n 1 iconДокументи
1. /Самостоятельная работа учащихся.doc

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©sd2.uchebalegko.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы