Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут” icon

Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут”

Реклама:



Скачать 116.53 Kb.
НазваниеМіністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут”
Дата конвертации05.08.2013
Размер116.53 Kb.
ТипДокументы
источник
1. /31РГ.doc
2. /31РГ1.doc
3. /ИраРГ.doc
4. /КатяРГ.doc
5. /МашаРГ.doc
6. /СерегаРГ.doc
7. /ШурыгинРГ.doc
8. /ЮшкалюкРГ.doc
Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут”
Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут”
Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут”
Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут”
Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут”
Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут”
Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут”
Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут”

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

„КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОНІКИ


Кафедра звукотехніки та реєстрації інформації


Розрахункова – графічна робота

“Побудова інтерполяційних поліномів Ньютона та Лагранжа”

з курсу „Обчислювальна математика”


Роботу перевірив: Роботу виконав:

проф. Пешков В.П. ст. 2-го курсу ФЕЛ

оцінка гр. ДЗ-31

Риженко К.


Київ-2004

ЗМІСТ


ВСТУП.......................................................................3

ТЕХНІЧНЕ ЗАВДАННЯ...............................................4

1 Побудова інтерполяційних поліномів Ньютона та

Лагранжа...............................................................5

2 Обчислення значення функції у проміжній точці.

Визначення похибки інтерполяції..........................8

3 Побудова графіків функцій...................................11

ВИСНОВКИ.............................................................12

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ..............................................13


ВСТУП


На практиці в більшості випадків знайти точне вирішення поставленої математичної задачі не вдається. Це відбувається головним чином тому, що рішення не виражається у відомих елементарних функціях, або ж вирішення потребує виконання великої кількості, від декількох десятків до мільйонів, арифметичних та логічних операцій. Тому важливе місце в багатьох галузях науки та техніки зайняли численні методи.

Поява високопродуктивних ЕОМ дала можливість, використовуючи численні методи, вирішувати складні математичні задачі, з отриманням близьких до істинних результатів. Рішення, отримане численним методом, зазвичай є наближеним, тобто має деяку похибку. Не зважаючи на це, численні методи широко застосовуються в електротехніці. Так існує великий клас фільтрів, робота яких базується на використанні полінома Чебишева, для аналізу сигналів використовують ряд Фур’є та оператор Лапласа.

Виконання цієї розрахунково-графічної роботи має на миті одержання навичок по розрахунку інтерполяційних поліномів по таблицях експериментальних даних. Також важливим пунктом є знаходження похибок обчислень.


ТЕХНІЧНЕ ЗАВДАННЯ


Для функції виконати наступне:

  1. Побудувати інтерполяційні поліноми Ньютона та Лагранжа, співпадаючи з даної функцією у заданих точках.

  2. Порахувати значення функції у проміжний точці. А також похибку інтерполяції.

  3. Побудувати графіки функцій.


Таблиця 1. Вузли інтерполяції.

х0

х1

х2

х3

х4

-3

-2

0

2

3



1 Побудова інтерполяційних поліномів Ньютона та Лагранжа.


Спочатку побудуємо інтерполяційний поліном Ньютона для нерівностоячих вузлів за допомогою розділених різниць .

Загальний вигляд інтерполяційного полінома Ньютона для нерівностоячих вузлів :





де n – кількість вузлів інтерполяції;

- розділена різниця n-го порядку;


Чим більше кількість вузлів, ти точніше буде представлення функції.

Для нашого випадку n=5. Зобразимо таблицю розділені різниць нашої функції:

Таблиця 2. Розділені різниці.

і

х

у(х)









0

-3

0.5

0.25

-0.0417

-0.00416

0.00139

1

-2

0.75

0.125

-0.0625

0.00416

-

2

0

1

-0.125

-0.0417

-

-

3

2

0.75

-0.25

-

-

-

4

3

0.5

-

-

-

-


Підставивши дані таблиці у попередню формулу, отримаємо наступні результати:







Отже, маємо остаточний вираз для полінома Ньютона 4-го степеня:


(1.1)

Побудуємо інтерполяційний поліном Лагранжа для нашої функції. Його загальний вигляд:


;


де - координата і-го вузла інтерполяції;

- значення даної функції в вузлі і.


Кількість доданків n дорівнює кількості вузлів інтерполяції, а при рівностоячих вузлах він збігається з відповідним поліномом Ньютона. Для знаходження полінома Лагранжа скористуємося таблицею значень функції :


Таблиця 3 Таблиця значень функції.

і

0

1

2

3

4

х

-3

-2

0

2

3

у(х)

0.5

0.75

1

0.5

0.75


Підставивши відповідні значення у попередню формулу маємо:



Отже, маємо остаточний вираз для полінома Лагранжа 4-го степеня:


(1.2)

Цей вираз майже повністю збігається з виразом полінома Ньютона (1.1). Отже, наші підрахунки вірні.


2 Обчислення значення функції у проміжній точці. Визначення похибки інтерполяції.

Визначимо значення функції та обчисленого у попередньому пункті полінома, а також модуль різниці цих значень у проміжних значеннях х на відрізку інтерполяції та запишемо їх у таблицю


Таблиця 4. Таблиця різниць значень функції та поліному.

x

-2,9

-2,5

-2,1

-1,7

-1,3

-0,9

y(x)

0,432404

0,396613

0,66101

1,01152

1,229845

1,232688

(х)

0,529125

0,630019

0,727005

0,814785

0,888981

0,946137

|y(x)-(х)|

0,096721

0,233406

0,065995

0,196735

0,340863

0,286551




x

-0,5

-0,1

0,3

0,7

1,1

1,5

y(x)

1,10352

1,004769

1,04098

1,174686

1,256348

1,146604

(х)

0,983719

1,000113

0,994629

0,967497

0,919869

0,853819

|y(x)-(х)|

0,119801

0,004655

0,046351

0,207189

0,336478

0,292785







x

1,9

2,3

2,7




y(x)

0,841044

0,50253

0,368454




(х)

0,772341

0,679353

0,579693




|y(x)-(х)|

0,068703

0,176823

0,21124





Отже, з цієї таблиці видно, що поліном наближається до функції у точках інтерполяції та розходиться майже на Δx=0.3 у проміжних точках. Це пояснюється, насамперед, недостатньою кількістю вузлів

Інтерполяції.


Зробимо оцінку максимальної похибки, застосовуючи запис функції у вигляді суми поліному та залишкового члену:


;

де ;

; .

При чому .

Знайдемо максимальне значення залишкового члену для нашої функції.

Визначимо максимальне значення на нашому відрізку. Для цього визначимо екстремуми функції :



Прирівнюючи останню функцію до нуля отримаємо рівняння, з якого визначаємо екстремальні точки. Враховуючи похибки у таблиці 4, отримуємо координату х, при якої досягається максимальне : х≈ ±1.032, отже,

Визначимо .

Для цього визначимо 5-ту похідну функції :

; ; ;

; .

Отже, максимальне значення на відрізку [-3;3] при .

Тоді маємо остаточно 3.7265.

Отже, .


Таким чином наша максимальна похибка не перевищує оцінки максимальної похибки.


3 Побудова графіків функцій.


Побудуємо графіки нашої функції та полінома. А також, оскільки =const, графік функції :





З графіку видно, що максимальна похибка досягається саме в точці х≈ ±1.032.


ВИСНОВКИ

В ході даної розрахункової роботи на практиці були знайдені два інтерполяційні поліноми (Лагранжа та Ньютона), максимальна похибка інтерполяції, похибка в проміжній точці, було виведено формулу для оцінки похибки в будь-якій точці даного проміжку інтерполяції.

Те, що коефіцієнти в поліномах Лагранжа та Ньютона відрізняються на дуже малу величину пояснюється тим, що поліном Ньютона є наслідком з Лагранжа. Тому визначити, який із поліномів наближається ближче до функції можливо лише обравши не рівновіддалені вузли для інтерполяційного полінома Лагранжа.

Отримані нами поліноми мали достатньо суттєву похибку, оцінка максимальної похибки дала число 8,1996. Джерелами похибки при наближених обчисленнях зазвичай є:

  1. невідповідність математичної моделі поставленій задачі;

  2. похибка початкових даних;

  3. похибка метода рішення;

  4. похибка округлень в арифметичних та інших діях над числами.

В нашому випадку зменшити похибку можна було збільшивши кількість вузлів інтерполяції.

Можливості розвитку та використання численних методів розширюються у зв’язку з використанням сучасних засобів обчислювальної техніки.


ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ


1. Волков Е.А. Численные методы : Учеб. пособие для вузов.-2-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987, - 248с.

2. Самарский А.А. Введение в численные методы: Учеб. пособие для вузов.-2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987, - 288с.

Добавить документ в свой блог или на сайт


Реклама:

Похожие:

Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут” iconМіністерство освіти та науки України Запорізький національний технічний університет
У ході ознайомлювальної практики була проведена екскурсія по заводу ват «Перетворювач»

Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут” iconМіністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка»
Розробити схему пристрою для роз’єднання вузла та виконати розрахунок його силових елементів

Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут” iconМіністерство освіти І науки україни тернопільський національний економічний університет
Київської Русі. У 1241 році загони Батия знищили місто Плісненськ, що за 10 кілометрів від Олеська. Ймовірно саме плісненські втікачі...

Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут” iconМіністерство освіти та науки України федерація настільного тенісу україни

Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут” iconМіністерство освіти та науки України федерація настільного тенісу україни

Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут” iconМіністерство освіти І науки України Управління освіти І науки Сумської обласної державної адміністрації сумський обласний інститут післядипломної педагогічної освіти
Тов видавництво "мапа" (м. Київ) випустило з друку контурні карти з географії малої Батьківщини "Сумська область" для 4-9-их класів,...

Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут” iconМіністерство освіти та науки україни

Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут” iconМіністерство освіти та науки України Відділ освіти Гощанської райдержадміністрації Бабинська загальноосвітня школа I-III ступенів
Особливості навчання іншомовного спілкування на уроках іноземної мови за проектною методикою

Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут” iconІ. Я. Бардецький Національний університет «Львівська політехніка», Інститут архітектури (Львів) system (sinergistical) forming of the ecologically-oriented housing educations
Я. Бардецький Національний університет «Львівська політехніка», Інститут архітектури (Львів)

Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут” iconКиївський національний університет імені Тараса Шевченка
Товариство охорони та вивчення птахів України запрошують Вас взяти участь у роботі Всеукраїнської наукової конференції, присвяченої...

Міністерство освіти І науки україни національний технічний університет україни „київський політехнічний інститут” iconКодекс україни ( Відомості Верховної Ради (ввр), 1995, n 24, ст. 189 )
Державний Комітет України по геології і використанню надр", "Міністерство статистики України"

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©sd2.uchebalegko.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы